Zanimljive priče o matematičarima: TALES iz Mileta


Tales iz Mileta je, slažu se historičari, prvi grčki filozof, naučnik i matematičar, iako je po zanimanju bio inžinjerske struke.


Tales naučnik

Zabilježeno je da je Tales predvidio pomrčinu sunca 585. godine prije Krista. Predviđanje pomrčine mjeseca onda je bilo uobičajeno, ali je bilo teško izreći kada će biti pomračina sunca, budući da se ta pojava nije mogla vidjeti sa svih dijelova na Zemlji.


Dosjetljivi Tales

Postoji nekoliko kasnijih zapisa o tome kako je Tales izračunao visinu piramida. Za sunčana dana čekao je trenutak kada će sjena svih predmeta (npr. štapa kojeg je zabio u pijesak pokraj piramide) biti jednaka njihovoj visini. To je onda primijenio i na piramidu i preko sjene izračunao njenu visinu.


Pouzdani Tales logičar

Ipak, ono najvažnije što mu matematičari pripisuju, jest činjenica da je Tales prvi dao logičke temelje dokazivanju teorema. Drugim riječima, Tales je prvi naglasio da nije dovoljno samo opažati pojave, već ih i dokazati.


U mnogim knijgama o historiji matematike pripisuju mu se ovi teoremi iz geometrije:

· Dijametar dijeli krug na dva jednaka dijela.

· Uglovi uz bazu jednakokrakog trokuta su jednaki.

· Uglovi između dva pravca koji se sijeku su jednaki (misli se na vršne kuteve).

· Dva su trokuta podudarna ako imaju jednaka dva ugla i jednu stranicu.

· Ugao na polukružnici je pravi ugao.


Tales pomorac

Posljednji navedeni teorem danas nazivamo Talesovim teoremom. Tales je također svojim matematičkim opažanjima dao doprinos i nautici. Između ostalog, našao je metodu kako izračunati udaljenost brodova od obale.


Rastreseni Tales

Platon spominje priču kako je jedne noći Tales pješačio promatrajući nebo. Ne gledajući u nebo i ne pazeći kamo staje, pao je u jarak. Zgodna mlada služavka mu je pomogla izaći iz jarka i rekla mu: "Kako očekuješ da ćeš razumjeti što se događa gore ne nebu kada ne vidiš ni što ti je pod nogama?!". Ovo je vjerojatno prva zapisana šala u povijesti na račun rastresenih profesora...

Zanimljive priče o matematičarima: PITAGORA iz Samosa


Pitagora matematičar

Pitagora iz Samosa često se prikazuje kao prvi "pravi" matematičar. On je vrlo važna osoba koja je doprinijela razvoju matematike, iako u biti znamo malo o njegovom matematičkom radu


Pitagora bogati učitelj

Pitagora je rođen na grčkom otoku Samosu (danas taj otok pripada Turskoj), kao sin bogatog i zaslužnog trgovca s kojim je mnogo putovao. Na Samosu osniva školu, pod nazivom "polukrug", koja je i stoljećima kasnije mještanima otoka služila kao okupljalište mislioca.


Strogi Pitagora

Ustanovio je matematičku školu u kojoj su učenici održavali stroga pravila druženja. Školu danas nazivamo Pitagorejskom školom, a njegove sljedbenike Pitagorerjcima. Ono što je sigurno, je da je njegova škola dala velik doprinos matematici.


Pitagora voli brojeve

Pitagorejce su zanimale osnove matematike, pojam broja, trokuta i ostalih matematičkih likova, te apstraktna ideja dokaza. Pitagora je vjerovao da se sve relacije i odnosi mogu svesti na operacije s brojevima, da se sve oko nas i cijeli svemir može objasniti brojevima. Do toga su zaključka došli nakon mnogih opažanja u muzici, matematici i astronomiji. Pitagora je proučavao svojstva prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata, kao na primjer parni i neparni brojevi, savršeni brojevi itd. Po njemu, svaki broj ima čak i svoje osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lijep ili ružan. Postojao je i najbolji od svih brojeva: broj 10, kojeg su prepoznali kao zbir prva četiri prirodna broja (1 + 2 + 3 + 4 = 10)


Pitagora muzičar

Poznato je Pitagorino opažanje da žice instrumenta proizvode tonove u harmoniji kada su koeficijenti dužina tih žica cijeli brojevi. Pitagora je jako pridonio stvaranju matematičke teorije muzike. Bio je vrstan muzičar, svirao je liru i koristio je muziku kao sredstvo liječenja bolesnika (muzikoterapija).


Pitagorin teorem

Naravno, mi danas pamtimo Pitagoru po poznatom Pitagorinom teoremu. Iako je taj teorem nazvan po Pitagori, on je bio poznat još i starim Babiloncima 1000 godina prije nego što se Pitagora rodio.


Evo poznatijih tvrdnji koje su dokazali Pitagora i Pitagorejci:

* Zbir uglova u trokutu jednak je kao dva prava ugla.

* Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata na ostale dvije stranice u pravouglom trokutu (Pitagorin puočak).

Primijetimo ovdje da Pitagorejcima "kvadrat" nije označavao množenje dužine stranice sa samom sobom, već je označavao jednostavno geometrijski lik kvadrat konstruiran na stranici. Činjenica da je zbir dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je podudaran kvadratu nad hipotenuzom.

* Otkriće iracionalnih brojeva. Pitagorejci su čvrsto vjerovali da se sve može prikazati u obliku broja, pri čemu je svaki broj količnik dva cijela broja. Međutim, kada su pokušali izmjeriti hipotenuzu jednakokrakog pravouglog trokuta, došli su do zaključka da se ona ne može prikazati kao količnik dva cijela broja i to ih je užasnulo. Zapravo, činjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja toliko ih je užasnula da su tu tvrdnju čuvali u dubokoj tajnosti kako ne bi izašla na vidjelo.

* Pet pravilnih geometrijskih tijela (Platonova tijela). Smatra se da je sam Pitagora znao kako konstruirati prva tri pravilna tijela, ali ne i posljednja dva.


Pitagora astronom

U astronomiji je Pitagora poučavao da je Zemlja kugla u središtu Svemira. On je također prepoznao da se Mjesečeva putanja nalazi pod uglom u odnosu na Ekvator. On je također bio jedan od prvih koji je primijetio da je Venera kao večernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda.


Nesebični Pitagora

Što se moralnog života Pitagorejaca tiče, i tu su imali svoja pravila. Pitagora je, naime, njegovao i promicao prijateljstvo, nesebičnost i iskrenost.


Pitagorina škola

I nakon Pitagorine smrti Pitagorejska škola je još dugo bila na okupu. Nakon 500. god. pr. Kr. škola se sve manje bavila naukom, a sve više politikom i zato se uskoro rascijepkala na grupice. Godine 460. pr. Kr. škola je naprasno zatvorena, a za Pitagorejcima je ostao do danas bogat plod njihovog izučavanja astronomije, aritmetike i geometrije.


Zanimljive osobine nekih brojeva


Mnogima je matematika u školi bila najgori i najteži predmet. Ali kad se malo bolje prouči, vjerovali ili ne, može postati vrlo zanimljiva. Matematika voli skladnost, savršenstvo, smislenost,...

Kako biste uvidjeli koliko matematika može biti zanimljiva definirat ću neke osnovne pojmove kao što su savršeni brojevi, brojevi blizanci i sprijateljeni brojevi te ću navesti po nekoliko primjera. Dovoljno je osnovno znanje sabiranja i množenja da se shvati jer su zadaci vrlo jednostavni. Ovo ja zovem "igra brojevima"!


Za početak evo jedan primjer.


Primjer 1:


1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 101 * 50 = 5050


Definicija:

SAVRŠENI BROJ je broj kod kojeg je zbir svih njegovih djelitelja (osim njega samog) jednak njemu samom.


Primjer 2:


a) Broj 6

Djelitelji broja 6 koji su različiti od njega samoga su brojevi 1, 2 i 3

Njihov zbir je 1 + 2 + 3 = 6


b) Broj 28

Djelitelji: 1, 2, 4, 7 i 14

Zbir : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28


c) Broj 496

Djelitelji: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 i 248

Zbir: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496


Definicija:

PROST BROJ je broj koji je djeljiv samo sa 1 i sa samim sobom.


Definicija:

Prosti brojevi koji se razlikuju za dva zovu se BROJEVI BLIZANCI.


Primjer 3:


Brojevi blizanci su npr. brojevi:

a) 5 i 7

b) 11 i 13

c) 17 i 19


Definicija:

SPRIJATELJENI BROJEVI su parovi brojeva sa svojstvom da je svaki od njih jednak zbiru svih djelitelja (osim njega samoga) svog broja prijatelja.


Primjer 4:


Sprijateljeni brojevi su 220 i 284.

Djelitelji broja 220 različiti od 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

Djelitelji broja 284 različiti od 284: 1, 2, 4, 71, 142

Zbirovi:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220


Jeste li znali ovo? :)


Najzanimljiviji primjeri tek slijede!


Primjer 5:


12345679 * 9 = 111111111

12345679 * 18 = 222222222

12345679 * 27 = 333333333

12345679 * 36 = 444444444

12345679 * 45 = 555555555

12345679 * 54 = 666666666

12345679 * 63 = 777777777

12345679 * 72 = 888888888

12345679 * 81 = 999999999


Primjer 6:


0 * 9 + 1 = 1

1 * 9 + 2 = 11

12 * 9 + 3 = 111

123 * 9 + 4 = 1111

1234 * 9 + 5 = 11111

12345 * 9 + 6 = 111111

123456 * 9 + 7 = 1111111

1234567 * 9 + 8 = 11111111

12345678 * 9 + 9 = 111111111

123456789 * 9 + 10 = 1111111111


Primjer 7:


0 * 9 + 8 = 8

9 * 9 + 7 = 88

98 * 9 + 6 = 888

987 * 9 + 5 = 8888

9876 * 9 + 4 = 88888

98765 * 9 + 3 = 888888

987654 * 9 + 2 = 8888888

9876543 * 9 + 1 = 88888888

98765432 * 9 + 0 = 888888888

987654321 * 9 - 1 = 8888888888


Primjer 8:


4^2 = 16

34^2 = 1156

334^2 = 111556

3334^2 = 11115556

33334^2 = 1111155556

333334^2 = 111111555556

3333334^2 = 11111115555556

33333334^2 = 1111111155555556

333333334^2 = 111111111555555556

3333333334^2 = 11111111115555555556

33333333334^2 = 1111111111155555555556

333333333334^2 = 111111111111555555555556

3333333333334^2 = 11111111111115555555555556

i tako dalje...


Primjer 9:


100 = 111 - 11

100 = 99 + 9 : 9

100 = 9 * 9 + 9 + 9 + 9 : 9

100 = 33 * 3 + 3 : 3

100 = 5 * 5 * 5 - 5 * 5

100 = ( 5 + 5 + 5 +5 ) * 5

100 = ( 5 * 5 - 5 ) * 5

100 = ( 5 + 5 ) * ( 5 + 5)

100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9

100 = 123 - 45 - 67 + 89

100 = 12 : 3 + 4 * 5 - 6 - 7 + 89


Primjer 10:


4 - 4 + 4 - 4 = 0

4 - 4 + ( 4 : 4 ) = 1

( 4 * 4 ) : (4 + 4) = 2

( 4 + 4 + 4 ) : 4 = 3

( 4 - 4 ) * 4 + 4 = 4

( 4 * 4 + 4 ) : 4 = 5

( 4 + 4 ) : 4 + 4 = 6

4 + 4 - ( 4 : 4 ) = 7

4 + 4 + 4 - 4 = 8

4 + 4 + ( 4 : 4 ) = 9


Primjer 11:


1973 = 1111 : 11 + 1111 * ( 1 + 1 ) - ( 11 + 11 + 11 ) * 11 + 11 + 1 + 1

1973 = 2222 - 222 - 22 - 2 * 2 - 2 : 2

1973 = 333 * ( 3 + 3 ) - 33 + 3 * 3 - 3 : 3

1973 = 44 * 44 + 44 - 4 - 4 + 4 : 4

1973 = 55 * 55 - 555 - 555 + 55 + ( 5 + 5 + 5 ) : 5

1973 = 6 * 6 * 6 * 6 + 666 + 66 : 6

1973 = 7777 : 7 + 777 + 77 + 7 + 7 : 7

1973 = ( 8 + 8 + 8 ) * 88 - ( 8 + 8 ) * 8 - 8 - ( 8 + 8 + 8 ) : 8

1973 = 99 * 9 + ( 99 - 9 ) * 9 + 9 * ( 9 + 9 ) + ( 999 - 9 ) : 9


Primjer 12:


9 + 9 = 18 dok je 9 * 9 = 81

24 + 3 = 27 dok je 24 * 3 = 72

47 + 2 = 49 dok je 47 * 2 = 94

263 + 2 = 265 dok je 263 * 2 = 526

497 + 2 = 499 dok je 497 * 2 = 994


Primjer 13:


1 = 1 * 1 / 1

121 = 22 * 22 / ( 1 + 2 + 1 )

12321 = 333 * 333 / ( 1 + 2 + 3 + 2 + 1 )

1234321 = 4444 * 4444 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 )

123454321 = 55555 * 55555 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )

12345654321 = 666666 * 666666 / ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )

1234567654321 = 7777777 * 7777777 / ( 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )

i tako dalje...


O, matematiko!


Budući da je većini učenika matematika najgori i najteži od svih predmeta u školi, dvojica učenika su se molili prije ispita na sljedeći način:


Prvi učenik:


Pitagora naš, koji jesi dva metra pod zemljom, svete su formule tvoje, kao i poučak tvoj, budi volja tvoja, kako na ploči tako i na testu, dvojku našu svagdanju daj nam danas i otpusti nam jedinice naše, kako i mi propuštamo satove tvoje, ne zapiši nas u imenike nego izbaci nas iz škole!

AMEN.


Drugi učenik:


Zdravo matematiko, loših ocjena puno, jedinica s tobom, blagoslovljena ti među predmetima i blagoslovljen profesor utrobe tvoje, sveta matematiko propasti naša, moli za nas gubitnike sada i na maturi našoj!

AMEN.


Teorema o plaći


Svako zna TEOREM O PLAĆI koji kaže da inžinjeri nikada ne mogu zaraditi onoliko novca koliko zarađuju prodavači.


Ovaj teorem može biti objašnjen jednostavnim matematičkim formulama:


Jednačine se baziraju na dva stava:


Stav 1:


Znanje je Moć (Snaga).


Stav 2:


Vrijeme je Novac.


Svaki inžinjer zna da je:

Snaga (Moć) = Rad / Vrijeme

Pa, pošto je:

Znanje = Snaga (Moć)

i

Vrijeme = Novac

Slijedi da je:

Znanje = Rad / Novac


Sada lako dobijamo da je:

Novac = Rad / Znanje


Dakle, kada Znanje teži ka nuli - Novac teži ka beskonačnosti, bez obzira na uložen Rad. To vrijedi čak i kada je uloženi rad izuzetno mali.

I u obrnutom slučaju, kada Znanje teži ka beskonačnosti - dobijeni Novac teži ka nuli, čak i kada je uloženi Rad vrlo veliki.


Zaključak: Što manje znaš - to više zarađuješ!


Svi oni među vama koji su imali problema u praćenju i shvaćanju teorema i dokaza, sigurno zarađuju puno novca.


Profesorska/nastavnička radna sedmica


"Svako ko misli da je nastavnički posao lagan, neka isproba sljedeću vježbicu.


Uzmi dovoljno vremena u jednom danu i sroči 5 govora, od kojih svaki treba ispuniti 45 minuta, o bilo čemu, u što se ti osobno dobro razumiješ. Pri tome uzmi u obzir da svoju publiku moraš zainteresirati i motivirati na pažnju, slušanje, razumijevanje i usvajanje tog svog govora. Naravno, trebaš smisliti i nekoliko zanimljivih zadataka i aktivnosti koje će tvoju publiku potaknuti na sudjelovanje i interakciju.


Sutra ustani, pristojno se obuci i provozaj se po gradu 30 minuta do sat vremena, vrati se kući, upali televizor i pojačaj ga. Stani pred taj televizor i u 45 minuta ispričaj taj svoj govor i sve što si pripremio/la tako da govoriš glasnije od televizora. S vremenom postepeno pojačavaj televizor (jer učenička pažnja opada i postaju pričljiviji i nezainteresiraniji) te i dalje govori glasnije od televizora. Usput naravno moraš pratiti sve što se na ekranu odvija i program koji gledaš. Kad god netko od ukućana prođe, ti odgovori suvislo na sva njegova pitanja i udovolji svim njegovim zahtjevima.


Naravno, nemoj zaboraviti cijelo to vrijeme biti ugodan i smiren te imati osmjeh na licu kako bi pridonio boljoj atmosferi u prostoriji.


Nakon 45 minuta, uzmi pauzu od 5 minuta, ali tada jako pojačaj televizor, kako bi se dočarao odmor u školi. Po mogućnosti, neka tvoje dijete nekoliko puta protrči pored tebe ili se potuče s bratom ili sestrom. Ti tada smireno i vješto riješi tu situaciju, tako da svi budu zadovoljni.


Zatim vrati televizor na početnu postavku (svejedno glasnije od uobičajene), uzmi svoj drugi pripremljeni govor, zadatke i aktivnosti i ponovi sve u idućih 45 minuta. Opet isti odmor od 5 minuta pa ponovno sve ispočetka, 45 minuta. To radi tako 5 puta zaredom.


Onda pozovi kod sebe komšiju, s kojim imaš neki problem i provedi 45 minuta s njim, smireno i uljudno rješavajući taj problem, objašnjavajući kako i zašto je do njega došlo i predloži kako ga efikasno riješiti.


Kada završiš opet sjedni u auto i vozaj se po gradu 30 minuta do sat vremena. Vrati se kući, malo se odmori (pitam se, hoćeš li upaliti televizor ili imati snage igrati se sa svojom djecom), zatim sjedni i pripremi 5 novih govora za sutra.


Ponovi ovu vježbu 5 dana zaredom pa mi se javi i reci da li još uvijek vjeruješ da je naš posao lagan.


Eto, to ti je profesorska/nastavnička radna sedmica, bez papirologije, dežurstava, pisanja godišnjih, mjesečnih i operativnih planova, razredništva, planiranja i sveg ostalog. Samo radna sedmica".


Kako su nastale arapske cifre koje koristimo?


Arapski brojevi јe naziv za sledećih deset cifara: 0 (nula), 1 (jedan), 2 (dva), 3 (tri), 4 (četiri), 5 (pet), 6 (šest), 7 (sedam), 8 (osam), 9 (devet). U dekadnom brojevnom sistemu sa osnovom 10, uz pomoć ovih cifara mogu se predstaviti svi brojevi. Smatra se da njihov zapis ima veze sa brojem uglova koji se formiraju prilikom njihovog pisanja, što se može vidjeti na slici:



Porijeklo i nastanak velikih brojeva


Ukoliko niste do sada znali, onda pogledajte kako se zovu i kako pišu brojevi veći od miliona.


Veliki brojevi


Pogledajte na kako se formiraju veliki i mali brojevi (prefiksi)


Veliki i mali brojevi - Prefiksi


Kako su nastali brojevi?


O porijeklu brojeva


Brojni sistemi


Ljepota matematike


Pogledajte na koji način možemo uspostaviti korelaciju (vezu) između Matematike i Vjeronauke.


Ljepota matematike



Trikovi za lakše računanje


Vedska matematika